Elsa CHOI

Elsa CHOI

澳門統計局-知識教室(Ring Ration)

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簡介

  • 這是透過澳門統計局對環比的介紹，規範寫出數學關係式，以便自己的理解。

  • ref:澳門統計局

  • 以下$P$是指價格，$Q$是指數量。

價格指數

\[PI_{n,k}=\frac{P_{n,k}}{P_{n-1,k}}\]

其中$k$是類型,$n$是時期

總價

\[V_{n,k}=P_{n,k}Q_{n,k}\]

計算短物量

\[SQ_{n}=\sum_{k} SQ_{n,k}= \sum_{k} P_{n-1,k}Q_{n,k}=\sum_{k} \frac{V_{n,k}}{PI_{n,k}}\]

其中，

\[SQ_{n,k}=P_{n-1,k}Q_{n,k}\]

是某一 $k$ 類在 $n$ 時期的短期物量。

計算短期物量指數

\[SQI_{n,k}= \frac{ P_{n-1,k}Q_{n,k}} {P_{n-1,k}Q_{n-1,k}} =\frac{\frac{V_{n,k}}{PI_{n,k}} } { P_{n-1,k}Q_{n-1,k}} = \frac{\frac{V_{n,k}}{PI_{n,k}} } { V_{n-1,k}}\] \[SQI_{n}= \frac{\sum\limits_{k} P_{n-1,k}Q_{n,k}} {\sum\limits_{k} P_{n-1,k}Q_{n-1,k}} =\frac{\sum\limits_{k} \frac{V_{n,k}}{PI_{n,k}} } {\sum\limits_{k} P_{n-1,k}Q_{n-1,k}}\]

環比物量指數

\[RI_{n,k}=\frac{ P_{n-1,k}Q_{n,k}}{ P_{n-1,k}Q_{n-1,k}} \frac{P_{n-2,k}Q_{n-1,k}}{ P_{n-2,k}Q_{n-2,k}} ...\frac{ P_{0,k}Q_{1,k}}{ P_{0,k}Q_{0,k}} = \frac{\frac{V_{n,k}}{PI_{n,k}} }{ V_{n-1,k}} \frac{\frac{V_{n-1,k}}{PI_{n-1,k}} }{ V_{n-2,k}} \frac{\frac{V_{1,k}}{PI_{1,k}} }{ V_{0,k}} =\frac{Q_{1,k}}{Q_{0,k}}\] \[RI_{n}=\frac{\sum\limits_{k} P_{n-1}Q_{n}}{\sum\limits_{k} P_{n-1}Q_{n-1}} \frac{\sum\limits_{k} P_{n-2}Q_{n-1}}{\sum\limits_{k} P_{n-2}Q_{n-2}} ...\frac{\sum\limits_{k} P_{0}Q_{1}}{\sum\limits_{k} P_{0}Q_{0}}\]

值得注意的是

\[RI_{n}=SQI_{n}\times SQI_{n-1}\times... \times SQI_{0}\]

環比物量

\[RQ_{n,k}=RI_{n,k} \times P_{0,k} \times Q_{0,k}\] \[RQ_{n}=\sum\limits_{k} RI_{n,k} \times P_{0,k} \times Q_{0,k}\]

總結

  • 在統計表中，基本上不會給出數量$Q$,也不會給出價格指標$PI$,所以在環比物量統計表中是無法自己計算的。

  • 另外,通常實際GDP增長是

    \[\text{實際GDP增長}=\frac{\sum P_0Q_1}{\sum P_0Q0}\]

例子: 香港統計局:2018第4季GDP

  1. 表 3 各組成部分在本地生產總值的按年實質變動百分率中所佔的比率: 根據解釋38中,表中數據是:
\[實際年增長率_{n,k} \times (n-1) 時期 k 類所佔百分比\]
  • 即是表4(乙)數據乘以表4(丙) 所計算的上一年的百分表。

以2018年第一季私人開支為例:

  • 表4(乙)數據=8.9
  • 表4(丙)的上一年百分比=415294/622549=0.667
  • 所以表3=8.9%*0.667=5.9%
  1. 表2 瀏覽解釋34-37,期中37說明瞭
    • 表4(丙)經過[X-12自迴歸-求和-移動平均]剔除季節性效應
    • 計算對上季度比較的變動百分率

拉氏指數

\[L_1=\frac{\sum P_0Q_1}{\sum P_0Q_0}\]
  • 拉氏物價指數
\[L_2=\frac{\sum P_1Q_0}{\sum P_0Q_0}\]
  • 拉氏指數通常指拉氏物價指數

帕氏指數

\[P_1=\frac{\sum P_1Q_1}{\sum P_1Q_0}\]
  • 帕氏物價指數
\[P_2=\frac{\sum P_1Q_1}{\sum P_0Q_1}\]

費舍指數

  • 費舍物量指數
\[F_1=\sqrt{L_1 P_1}\]
  • 費舍物價指數
\[F_2=\sqrt{L_2 P_2}\]

拉氏與帕氏的差別

  • 拉氏的權數(物價權數:Q; 物量權數:P)固定在基期。
  • 帕氏的權數(物價權數:Q; 物量權數:P)固定在報告期
  • 拉氏與帕氏指數多指價格指數

拉氏和帕氏的優與缺

  • 選擇拉氏指數的原因根據大量數學上的驗證，拉氏指數計算的變動率，很可能會高於實際水平
  • 而派氏指數則有相反結果，計算結果會低於實際水平，費舍指數的結果是兩者之間
  • 理論上看，費舍指數的結果應該更接近現實。然而，從上述數學公式看，無論是派氏或費舍指數，它們都必須應用核算期完整的價格及數量資料才能進行運算。
  • 由於核算期完整的價格及數量資料難以及時獲取，當計算最新的經濟增長時，需要對當期價格及數量作出相當精確的預測，才能減低計算結果的誤差。如進行季度估算時，所有的資料便需經過季節性調整後才能計算出較準確的預測結果，情況將變得非常複雜和困難。因此，費舍指數方法，雖然理論上結果較佳，但因當期資料難以及時獲得，也難以保證預測結果的精確性
  • 目前使用該方法進行環比物量計算的國家主要是美國和加拿大。而派氏數量方法因資料獲取的時效性，以及計算結果較費舍指數方法差，一般不會採用。值得一提的是，在進行國內生產總值計算時，使用環比物量方法，一般能平緩無論是拉氏方法或派氏方法所產生的誤差幅度，也就是說，其計算結果向費舍方法靠攏。因此，目前較多使用環比物量方法的國家或地區（包括歐盟、澳洲、紐西蘭、香港），在時效性、準確性及成本等因素的綜合考慮下，都決定應用拉氏方法計算短期物量指數。

指標

  • 指標歸納起來有數量指標和質量指標

質量指數

反映質量指(價格)標綜合變動，則指標化指標是質量(價格)指標

\[P=\frac{\sum P_1Q_X}{\sum P_0Q_X}\]
  • 當$X=0$(即權數在基期)時,它是拉氏
  • 當$X=1$(即權數在報告期)時,它是帕氏

數量指數

反映數量指標綜合變動，則指標化指標是數量指標
\(Q=\frac{\sum P_XQ_1}{\sum P_XQ_0}\)

  • 當$X=0$(即權數在基期)時,它是拉氏
  • 當$X=1$(即權數在報告期)時,它是帕氏

本地生產總值數列與環比物量指數的優缺點比較

本地生產總值數列

  • 容易計算, 可相加
  • 不是基期的兩年的比較, 都透過基期, 比較間接
  • 產品種類隨年月不同, 基本價格或許沒有(如, 掃地機械人)
  • 因為基期要不斷變動, 不同期的比較要重新計算

環比物量指數

  • 環比是直接比較兩鄰兩年, 比較年期遠的, 產品不同的, 誤差較小
  • 環比是直接比較兩鄰兩年, 再直接相乘。環比物量方法的比較結果，不是簡單取決於兩個時點的價格及數量的多少，而是取決於兩個時點之間所發生的、不論是產品品種、質量、價格等因素的變化狀況
  • 由於環比物量方法採用逐年鏈接的方式，每年的實質變動率是固定的，轉換參考年並不會改變每年的實質變動率
  • 不能相加

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